梯度双边滤波

梯度双边滤波

2024 年 12 月 12 日

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## 1、双边滤波背景

双边滤波是一种典型的非线性滤波算法。基于高斯滤波，双边滤波利用强度的变化来保存边缘信息，解决了边缘模糊、在视觉观感上认为重要信息丢失的问题 。双边滤波的滤波效果主要取决于两个参数：两个像素的空间邻近性和灰度相似性。当处于纹理较简单区域时，滤波效果主要受空间邻近度的影响；当处于纹理较复杂及边缘区域时，灰度相似度起决定性作用。但本质上，双边滤波是一种邻域像素加权平均的滤波器，会导致图像特征模糊

## 2、双边滤波计算

传统双边滤波 (Bilateral Filter，记作 BF) 定义如下：

$$
Y(i) = \frac{1}{W_{i}}\sum_{j\in{S}}G_{\sigma d}(i,j)G_{\sigma r}(i,j)X_{j}
$$

其中，$i$是当前像素，$j$是$i$的$i$邻域像素，$S$表示$i$的邻域,，$X_j$表示$j$的像素值。$W_i$是做加权平均归一化

$$
W_{i}=\sum_{j\in{S}}G_{\sigma d}(i,j)G_{\sigma r}(i,j)X_{j}
$$

其中，$\sigma d$和$\sigma r$是高斯参数，$G_{\sigma d}$和$G_{\sigma r}$分别表示空间函数和灰度相似度函数，表示为

$$
G_{\sigma d}=e^{-\frac{1}{2}(\frac{d(i,j)}{\sigma d})^2}
$$

$$
G_{\sigma r}=e^{-\frac{1}{2}(\frac{X_i-X_j}{\sigma r})^2}
$$

其中，$d(i,j)$是i，j像素之间的欧氏距离

## 3、梯度双边滤波

为了引入图像的局部特征，对传统双边滤波的参数进行改进，利用梯度相似度替代灰度相似度，与空间距离构成梯度双边滤波，来对图像的邻域像素进行平均。梯度双边滤波 (Gradient Bilateral Fiter, 记作 GBF) 定义如下：

$$
Y(i) = \frac{1}{W_{i}}\sum_{j\in{S}}G_{\sigma d}(i,j)G_{\sigma g}(i,j)X_{j}
$$

其中，梯度相似度$G_{\sigma g}(i,j)$表示如下：

$$
G_{\sigma g}=e^{-\frac{1}{2}(\frac{d_{i}^{g}}{\sigma g})^2}
$$

其中，$d_x^g$是邻域中心点$i$与邻近点 $j$的梯度距离

$$
d_{i}^{g}=\sqrt{(\frac{\vartheta u(i)}{\vartheta i}-\frac{\vartheta u(j)}{\vartheta i})^2+(\frac{\vartheta u(i)}{\vartheta j}-\frac{\vartheta u(j)}{\vartheta j})^2}
$$

梯度双边滤波的效果主要受到参数，空间距离标准差$\sigma d$和梯度相似度标准差 $\sigma g$ 的影响。

$\sigma d$的数值大小体现空域的平滑程度，若邻域像素和中心像素距离较近，则分配给邻域像素的权重较大，平滑效果较好；若二者距离较远，则权重变小，平滑效果变弱。该效果相当于普通的高斯滤波，保边效果较差。

$\sigma g$对参与滤波的像素进行筛选，若邻域像素和中心像素梯度值相差较大，则分配给邻域像素的权重较小，对滤波结果的影响较小，从而使较多高频信息被保留。

$\sigma g$对噪声标准差的敏感度比$\sigma g$ 高，因此在进行图像去噪时，它显得更重要。

$\sigma d$ 的值可以选择 1.3 左右的常数，一般在 1.1 到 1.5之间。

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最后修改：2024 年 12 月 14 日

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AomanHao • 2024 年 12 月 12 日

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