机器学习-线性回归
LR模型
每个特征变量可以首先映射到⼀一个函数,然后再参与线性计算,模型如下:
$
y = theta_0 + theta_1x_1 + theta_2x_2 + · · · + theta_nx_n$
其中$ x_1,x_2,...,x_n$表示自变量(特征分量),$y$表示因变量,$\theta$是权重,$\theta_0$是偏移项(截距);$\theta_i$越大,说明$x_i$对$y$结果的影响越⼤
输入空间映射到特征空间(映射函数$\phi(x)$),建模.为
$ h_\theta(x)=\theta^T\phi(x)$
特征映射相关技术,包括特征哈希、特征学习、Kernel等
目标函数
预测值$ h_\theta(x)$与真实值$y$之差越小越好,加入损失函数(平方损失函数):
$J(\theta)={0.5}\sum_{i=1}^{n}{(h_\theta(x^i)-y^i)^2}$
求$min{J(\theta)}$
损失函数就是$x^i$的预测值$h_\theta(x^i)$与真实值$y^i$之差的平方和
回归模型(尤其是线性回归类)的⽬目标函数通常⽤用平⽅方损失函数来作为优化的⽬目标函数
为什么用误差平方和作为目标函数:
根据中⼼心极限定理理,把那些对结果影响⽐比较⼩小的变量量(假设独⽴立同分布)之和认为服从正态分布是合理理的
如果数据是高斯分布的,输入值$x^i$,预测值$\theta^Tx^i$,真实值$y^i$,误差$\epsilon^{i}$,线性模型为,
$y^i=\theta^Tx^i+\epsilon^{i}$
根据中心极限定理,认为变量之和服从高斯分布,即
$e^{i} = y^i-\theta^Tx^i$
则,x,y的条件概率为
$p(y^i|x^i;\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(y^i-\theta^Tx^i)^2}{2\sigma^2})$
$p(y^i|x^i;\theta)$越大,证明越接近真实值,还要考虑拟合过度以及模型的泛化能力问题
优化目标函数:使目标函数最小
最小二乘法
梯度下降法
批量梯度下降法
随机梯度下降法
拉格朗日乘子法
例子
$begin{bmatrix}
{a_{11}}&{a_{12}}&{cdots}&{a_{1n}}\
{a_{21}}&{a_{22}}&{cdots}&{a_{2n}}\
{vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\
{a_{m1}}&{a_{m2}}&{cdots}&{a_{mn}}\
end{bmatrix}
$