Loading... 机器学习_概率论 <!--more--> ### 概念 先验概率:<br> A的边缘概率表示为P(A),B的边缘概率表示为P(B) 联合概率:<br> 表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为P(A∩B)或者P(A,B)。 条件概率(又称后验概率):<br> 事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B),读作“在B条件下A的概率”,。 ``` 考虑一个问题:P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。 首先,事件B发生之前,我们对事件A的发生有一个基本的概率判断,称为A的先验概率,用P(A)表示; 其次,事件B发生之后,我们对事件A的发生概率重新评估,称为A的后验概率,用P(A|B)表示; 类似的,事件A发生之前,我们对事件B的发生有一个基本的概率判断,称为B的先验概率,用P(B)表示; 同样,事件A发生之后,我们对事件B的发生概率重新评估,称为B的后验概率,用P(B|A)表示。 ``` ### 贝叶斯公式 贝叶斯定理 $$ P(B_i|A) = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^n{P(B_j)}{P(A|B_j)}}$$ 贝叶斯公式 $$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$ 因为联合概率$P(A,B)$ $$P(A,B)=P(A|B)*P(B)=P(B|A)*P(A)$$ 假设B事件是由A1、A2事件导致的 $$P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)$$ 理解: P(规律|现象)=P(现象|规律)P(规律)/P(现象) ### 案例1 假设有两个班级其中1班有男生30人,女生20人;2班有男生25人、女生25人。体育老师抓到一个抽烟的男生,该男生打死也不告诉体育老师是那个班的。问题来了体育老师怎么判断该男生来自那个班? 先将1班和2班标记为事件A1和事件A2,男生标记为事件B 那么我们所求的就是P(A1丨B)和P(A2丨B) 因为只有2个班那么我们先验概率P(A1)=P(A2)=50%;来自1班男生的概率P(B丨A1)=3/5:来自2班男生的概率P(B丨A2)=1/2 那么我们求出P(B)就可以代入公式得到结果: P(B)=P(B丨A1)P(A1) P(B丨A2)P(A2)=0.55 P(A1丨B)=P(B丨A1)P(A1)/P(B)=0.6*0.5/0.55=55% P(A2丨B)=P(B丨A2)P(A2)/P(B)=0.5*0.5/0.55=45% 由结果我们可以得出:该男生来自1班的概率从50%(先验概率)上升到55%(后验概率) ### 案例2 一种癌症,得了这个癌症的人被检测出为阳性的几率为90%,未得这种癌症的人被检测出阴性的几率为90%,而人群中得这种癌症的几率为1%,一个人被检测出阳性,问这个人得癌症的几率为多少? 我们用 A 表示事件 “测出为阳性”, 用 $B_1$ 表示“得癌症”, $B_2$ 表示“未得癌症”。 得到以下信息: $P(A|B_1)=0.9$得癌症的人检测阳性 0.9 $P(A|B_2)=0.1$得癌症的人检测阴性 0.1 $P(B_1)=0.01$得癌症的概率 0.01 $P(B_2)=0.99$未得癌症的概率 0.99 计算: 人群中检测为阳性且得癌症的几率$P(B_1,A)$,联合概率 $$P(B_1,A)=P(B_1)*P(A|B_1)=0.01*0.9=0.009$$ 检测阳性并且未得癌症概率$P(B_2,A)$,联合概率 $$P(B_2,A)=P(B_2)*P(A|B_2)=0.99*0.1=0.099$$ 目前状态是已经检测除阳性,求患癌症概率$P(B_1|A)$ $P(B_1|A)=\frac{0.009}{0.099+0.009}=0.083$ 未患癌症概率$P(B_2|A)$ $P(B_2|A)=\frac{0.099}{0.099+0.009}=0.917$ 最后修改:2020 年 07 月 18 日 © 允许规范转载 打赏 赞赏作者 支付宝微信 赞 如果觉得我的文章对你有用,请随意赞赏